Fondements Mathématiques

Il s'agit de modéliser des phénomènes à plusieurs niveaux.

Discrétisation

Plutôt que de résoudre un problème sur tout l'espace, on va transformer un espace en plusieurs sections, et observer/simuler des phénomènes localement.

Système Linéaire

Rappel

On a :

• $A\in {ℝ}^{\mathbb{N}\times \mathbb{N}}$
• $B\in {ℝ}^{\mathbb{N}}$

Il s'agit de trouver $x\in {ℝ}^{\mathbb{N}},Ax=b$.

Informatique

On cherche à optimiser l'espace en utilisant des méthodes de stockage et en utilisant des algorithmes particuliers.

On peut considérer :

• La taille des objets
• La précision numérique

Équations aux Dérivées Partielles

Rappel dérivées

On a $f$ une fonction définie sur $ℝ$

• Dérivée à droite au point $a$, avec r tend vers D+ :

$$\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{r}={fp}_d\left(a\right)$$

• Dérivée à gauche au point $a$, avec r tend vers D- :

$$\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{r}={fp}_g\left(a\right)$$

Différentiabilité

$f$ est différentiable au point $a$ si et seulement si :

$${\exists (a}_1,a_2,a_n)$$
$$\frac{f(a+h)-f\left(a\right)-\sum _{i=1}^h{a}_i\times h_i}{norm\left(h\right)}$$

Avec $norm\left(h\right)=\sqrt{\sum _{i=1}^h{h_i}^2}$